Metody numeryczne w mechanice konstrukcji z przykładami w programie MATLAB

Metody numeryczne w mechanice konstrukcji z przykładami w programie MATLAB

rok wydania: 2011
ISBN: 978-83-7348-363-7

Spis treści

1. Wstęp / 7

2. Układy równań liniowych / 8
2.1. Wprowadzenie / 8
2.2. Podział numerycznych metod rozwiązania i ich ogólne cechy / 8
2.3. Metody eliminacyjne / 9
2.3.1. Metoda eliminacji Gaussa / 9
2.3.2. Metoda Jordana / 10
2.4 Metody dekompozycyjne /  11
2.4.1. Wprowadzenie / 11
2.4.2. Metoda Gaussa-Doolittle’a / 12
2.4.3. Metoda Gaussa-Crouta / 13
2.4.4. Metoda Choleskiego (Banachiewicza) / 13
2.5. Metody przybliżone /  14
2.5.1. Metoda iteracyjna Gaussa /  14
2.5.2. Metoda Gaussa-Seidla / 15
2.5.3. Metoda nadrelaksacji / 15
2.6. Przykłady / 16
2.6.1. Metoda Gaussa / 16
2.6.2. Metoda Jordana / 19
2.6.3. Odwrócenie macierzy metod Jordana / 19
2.6.4. Metoda Gaussa-Doolittle'a / 21
2.6.5. Metoda Gaussa-Crouta / 23
2.6.6. Metoda Choleskiego / 25
2.6.7. Metoda iteracyjna Gaussa / 27
2.6.8. Metoda Gausa-Seidla / 29
2.6.9. Metoda nadrelaksacji / 31

3. Problem własny / 34
3.1. Podstawy teoretyczne / 34
3.1.1. Wprowadzenie / 34
3.1.2. Sprowadzenie ogólnej postaci problemu własnego do postaci standardowej / 35
3.1.3. Rozwiązanie postaci standardowej / 37
3.1.4. Rozwiązanie standardowego problemu własnego metod Jacobiego / 38
3.1.5. Metoda potęgowa / 40
3.1.6. Inne metody numerycznego rozwiązania problemu własnego /  41
3.2. Przykłady / 41
3.2.1. Poszukiwanie punktów zerowych wielomianu / 41
3.2.2. Wektory własne / 42
3.2.3. Metoda Jacobiego / 43
3.2.4. Metoda potęgowa / 47
3.2.5. Najmniejsza wartość własna metodą potęgową / 49
3.2.6. Rozwizanie problemu własnego dla ramy / 51

4. Równania nieliniowe / 56
4.1. Podstawy teoretyczne / 56
4.1.1. Informacje ogólne / 56
4.1.2. Metoda przeszukiwania / 56
4.1.3. Metoda połowienia kroku / 57
4.1.4. Metoda lokalnego minimum / 57
4.1.5. Metoda Monte Carlo / 57
4.1.6. Metoda siecznych / 57
4.1.7. Metoda siecznych z przyspieszeniem / 58
4.1.8. Metoda stycznych (Newtona) / 59
4.1.9. Zmodyfikowane metody typu Newtona dla pierwiastków wielokrotnych / 59
4.2. Przykłady / 61
4.2.1. Metoda przeszukiwania / 61
4.2.2. Metoda połowienia kroku / 63
4.2.3. Metoda minimum lokalnego / 65
4.2.4. Metoda siecznych / 68
4.2.5. Metoda siecznych z przyspieszeniem / 71
4.2.6. Metoda stycznych / 73
4.2.7. Metoda Monte Carlo / 76

5. Interpolacja / 78
5.1. Wprowadzenie / 78
5.2. Interpolacja liniowa / 79
5.3. Interpolacja kwadratowa / 80
5.4. Interpolacja Newtona dla wielomianu dowolnego stopnia / 80
5.5. Interpolacja wielomianami Czebyszewa /  81
5.6. Interpolacja wielomianami Hermite’a / 81
5.7. Interpolacja wielomianami Lagrange’a / 82
5.8. Interpolacja szeregami Fouriera / 82
5.9. Przykłady / 82
5.9.1. Interpolacja liniowa / 82
5.9.2. Interpolacja kwadratowa / 84
5.9.3. Interpolacja sześcienna / 85

6. Aproksymacja / 87
6.1. Wprowadzenie /  87
6.2. Aproksymacja interpolacyjna / 87
6.3. Aproksymacja jednostajna / 87
6.4. Metoda najmniejszych kwadratów – wariant liniowy / 88
6.5. Ocena dokładności aproksymacji / 89
6.6. Przykłady / 91
6.6.1. Aproksymacja wielomianowa metodą najmniejszych kwadratów / 91
7. Całki oznaczone / 97
7.1. Wprowadzenie / 97
7.2. Standaryzacja przedziału całkowania / 97
7.3. Metody obliczania całek / 97
7.3.1. Metoda Newtona-Cotesa / 97
7.3.2. Metoda Gaussa / 99
7.3.3. Iteracyjny algorytm Romberga / 101
7.3.4. Metoda Monte Carlo / 101
7.4. Przykłady / 101
7.4.1. Metoda Newtona-Cotesa bez standaryzacji przedziału całkowania / 102
7.4.2. Metoda Newtona-Cotesa ze standaryzacją przedziału całkowania / 103
7.4.3. Całkowanie metodą Gaussa ze standaryzacją przedziału całkowania / 104

8. Równania różniczkowe I rzędu / 108
8.1. Wprowadzenie / 108
8.2. Podział metod rozwiązywania równań róniczkowych I rzędu / 109
8.2.1. Metoda Eulera / 109
8.2.2. Metoda punktu środkowego / 110
8.2.3. Metoda Rungego-Kutty / 110
8.2.4. Metoda trapezów / 111
8.2.5. Metoda Adamsa-Bashfortha-Moultona / 112
8.3. Przykład / 112
8.3.1. Zastosowanie algorytmu Eulera / 112
8.3.2. Rozwiązanie metodą punktu środkowego / 114
8.3.3. Rozwiązanie metodą Heuna / 114
8.3.4. Rozwiązanie klasyczną metodą Rungego-Kutty / 115
8.3.5. Rozwiązanie metodą trapezów / 116
8.3.6. Rozwiązanie metodą Adamsa-Bashfortha-Moultona / 117

9. Równania różniczkowe II rzędu / 119
9.1. Wprowadzenie / 119
9.2. Podział metod rozwiązywania równań ruch / 119
9.2.1. Metoda superpozycji modalnej / 120
9.2.2. Metoda różnic centralnych / 122
9.2.3. Metoda Newmarka / 124
9.3. Przykład / 126
9.3.1. Rozwiązanie analityczne metodą superpozycji modalnej / 126
9.3.2. Rozwiązanie metodą różnic centralnych / 130
9.3.3. Rozwiązanie metodą Newmarka / 134

Literatura / 139