Elementarny wstęp do topologii

Opis

Celem podręcznika jest zapoznanie czytelnika z podstawami gałęzi matematyki zwanej topologią. Dziedzina ta rozwijała się szczególnie intensywnie na początku XX wieku, w czym istotny udział mieli polscy matematycy. Jednym z jej najważniejszych pojęć jest ciągłość. Topologia zajmuje się badaniem pewnych własności przestrzeni, które zostają zachowane przy działaniu przekształceń ciągłych. Bazując na intuicji geometrycznej, można uznać, że zbiory poddawane tego typu przekształceniom mogą znacząco zmieniać swój kształt (np. przez skręcanie czy rozciąganie), ale nie mogą być rozrywane. Dlatego też topologia zwana bywa czasem „gumową geometrią”. Topologia dostarcza cennych narzędzi badawczych innym dziedzinom matematyki, takim jak np. analiza funkcjonalna, analiza zespolona czy teoria równań różniczkowych. Podręcznik skierowany jest głównie do studentów początkowych lat studiów matematycznych. Aby w pełni przyswoić jego treść, konieczna jest znajomość teorii mnogości, podstaw analizy matematycznej, a także wskazane jest zapoznanie się z niektórymi pojęciami z algebry liniowej. Choć w tekście znajdują się też nawiązania do bardziej zaawansowanych wyników z pokrewnych dziedzin, ich zrozumienie nie wymaga od czytelnika dodatkowej wiedzy. W celu istotnego poszerzenia wiadomości z topologii zawartych w niniejszym podręczniku rekomendowane jest sięgnięcie do wielu pozycji literatury. Tekst podzielony jest na dwanaście różniących się tematycznie rozdziałów, z których każdy zakończony jest zestawem ćwiczeń pozwalających uzupełnić pominięte fragmenty rozumowań oraz zyskać biegłość w stosowaniu zdobytej wiedzy teoretycznej.

Spis treści

Wprowadzenie / 9
Słowo wstępne / 9
Zawartość podręcznika / 10
Zastosowane oznaczenia / 12

Rozdział 1. Przestrzenie metryczne / 13
1.1. Definicja metryki. Przykłady przestrzeni metrycznych / 13
1.2. Kule w przestrzeni metrycznej / 21
1.3. Topologia generowana przez metrykę / 23
1.4. Zagadnienie równoważności metryk / 33
1.5. Zbieżność ciągów w przestrzeni metrycznej / 35
1.6. Metryka pochodząca od normy / 38
1.7. Norma pochodząca od iloczynu skalarnego / 44
1.8. Ćwiczenia / 48

Rozdział 2. Przestrzenie topologiczne / 51
2.1. Definicja topologii. Przykłady przestrzeni topologicznych / 51
2.2. Topologia indukowana / 58
2.3. Wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru / 62
2.4. Zbiory gęste, brzegowe oraz nigdziegęste / 75
2.5. Ośrodkowość przestrzeni topologicznej / 78
2.6. Ćwiczenia / 82

Rozdział 3. Twierdzenie Cantora i twierdzenie Baire’a / 87
3.1. Średnica zbioru. Zstępujący ciąg zbiorów / 87
3.2. Twierdzenie Cantora o zstępującym ciągu zbiorów domkniętych / 91
3.3. Twierdzenie Baire’a / 93
3.4. Wybrane zastosowania twierdzenia Baire’a / 98
3.5. Ćwiczenia / 99

Rozdział 4. Baza topologii i baza otoczeń punktu / 101
4.1. Baza topologii i jej własności / 101
4.2. Baza otoczeń punktu i jej własności / 109
4.3. Ćwiczenia / 115

Rozdział 5. Aksjomaty przeliczalności / 117
5.1. Zależności między aksjomatami przeliczalności / 117
5.2. Aksjomaty przeliczalności
a metryzowalność przestrzeni topologicznej / 120
5.3. Aksjomaty przeliczalności
a ośrodkowość przestrzeni topologicznej / 123
5.4. Podsumowanie / 128
5.5. Ćwiczenia / 130

Rozdział 6. Odwzorowania ciągłe i homeomorfizmy / 131
6.1. Ciągłość w przestrzeniach topologicznych / 131
6.2. Ciągłość w przestrzeniach metrycznych / 138
6.3. Jednostajna ciągłość w przestrzeniach metrycznych / 141
6.4. Granica jednostajnie zbieżnego ciągu
odwzorowań ciągłych / 144
6.5. Przestrzeń odwzorowań ciągłych i ograniczonych / 146
6.6. Przestrzeń odwzorowań ciągłych na przedziale [a, b]
o wartościach rzeczywistych / 148
6.7. Odwzorowanie otwarte, odwzorowanie domknięte,
homeomorfizm / 150
6.8. Przenoszenie topologii za pomocą bijekcji / 156
6.9. Ćwiczenia / 157

Rozdział 7. Topologia produktowa i topologia ilorazowa / 161
7.1. Topologia produktu
skończenie wielu przestrzeni topologicznych / 161
7.2. Topologia produktu dowolnie wielu
przestrzeni topologicznych / 165
7.3. Odwzorowania ciągłe
o wartościach w przestrzeni z topologią˛ produktową / 168
7.4. Ogólne własności topologii produktowej / 169
7.5. Topologia ilorazowa / 174
7.6. Ćwiczenia / 179

Rozdział 8. Aksjomaty oddzielania, lemat Urysona i twierdzenie Tietzego / 181
8.1. Podstawowe aksjomaty oddzielania i związki między nimi / 181
8.2. Lemat Urysona. Aksjomat T3 1/2 / 193
8.3. Twierdzenie Tietzego / 199
8.4. Ćwiczenia / 206

Rozdział 9. Zwartość / 207
9.1. Definicja zwartości / 207
9.2. Zwartość a ciągowa zwartość w przestrzeni metrycznej / 210
9.3. Zwartość a domkniętość zbioru / 216
9.4. Zwartość a domkniętość i ograniczoność zbioru
w przestrzeni metrycznej / 219
9.5. Zwartość a ośrodkowość przestrzeni metrycznej / 223
9.6. Zwartość a zupełność przestrzeni metrycznej / 224
9.7. Jednostajna ciągłość a zwartość / 226
9.8. Twierdzenie Weierstrassa / 227
9.9. Przestrzeń odwzorowań ciągłych
na zwartej przestrzeni metrycznej / 231
9.10. Twierdzenie Arzeli–Ascolego / 232
9.11. Przestrzeń zwarta jako przestrzeń normalna / 235
9.12. Kryterium zwartości Riesza / 237
9.13. Zwartość produktu przestrzeni zwartych / 238
9.14. Przestrzenie Lindelöfa / 241
9.15. Lokalna zwartość. Uzwarcenie Aleksandrowa / 243
9.16. Parazwartość / 248
9.17. Ćwiczenia / 251

Rozdział 10. Spójność / 253
10.1. Definicja spójności.
Warunki równoważne dotyczące spójności / 253
10.2. Obraz zbioru spójnego przez odwzorowanie ciągłe / 258
10.3. Badanie spójności za pomocą zbiorów rozgraniczonych / 262
10.4. Spójność produktu przestrzeni spójnych / 269
10.5. Składowe spójne / 270
10.6. Drogowa spójność i łukowa spójność / 273
10.7. Lokalna spójność / 277
10.8. Ćwiczenia / 280

Rozdział 11. Twierdzenia o punkcie stałym / 283
11.1. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym / 283
11.2. Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym / 286
11.3. Ćwiczenia / 289

Rozdział 12. Elementy teorii homotopii / 291
12.1. Homotopijność odwzorowań / 291
12.2. Grupa podstawowa przestrzeni topologicznej / 293
12.3. Hipoteza Poincarégo / 301
12.4. Ćwiczenia / 305
Bibliografia / 307
Skorowidz / 309

Informacje o bezpieczeństwie produktu Informacje o producencie