Metody numeryczne

Prezentowane drugie wydanie podręcznika tylko nieznacznie różni się od wydania pierwszego, opublikowanego w 2013 roku. Wprowadzono jedynie korektę nielicznych usterek zauważonych po ukazaniu się pierwszego wydania, poprawianych wcześniej na bieżąco w kolejnych erratach, a także dokonano niewielkich poprawek tekstu i rysunków.

Pierwsze wydanie podręcznika powstało na podstawie wieloletnich doświadczeń autora w prowadzeniu zajęć z zakresu metod numerycznych na Wydziale Elektroniki i Technik Informacyjnych Politechniki Warszawskiej. Dotyczyło to przede wszystkim przedmiotów „Metody Numeryczne”, realizowanych dla studentów kierunków Informatyka oraz Automatyka i robotyka, a także „Numerical Methods”, prowadzonych dla studentów anglojęzycznych studiów Electrical and Computer Engineering. Publikacja stanowi podsumowanie i rozszerzenie wcześniejszych materiałów wykładowych, sukcesywnie doskonalonych i udostępnianych studentom na wydziałowych stronach przedmiotów.

Autor dziękuje wszystkim studentom aktywnie uczestniczącym w zajęciach za uwagi dotyczące sposobu prezentacji materiału oraz za wskazywanie usterek edycyjnych. Zgłaszane komentarze w istotnym stopniu przyczyniły się do poprawy jakości opracowania.

Spis treści

Przedmowa (do wydania 2) / 9

Rozdział 1. Pojęcia podstawowe / 11
1.1. Maszynowa reprezentacja liczb, błędy reprezentacji / 11
1.2. Arytmetyka zmiennopozycyjna / 14
1.3. Uwarunkowanie zadania / 17
1.4. Algorytm i jego numeryczne realizacje / 23
1.5. Stabilność numeryczna algorytmów / 24

Rozdział 2. Układ równań liniowych, rozkłady trójkątne macierzy / 29
2.1. Normy wektorów i macierzy / 29
2.2. Uwarunkowanie macierzy, układu równań liniowych / 32
2.3. Eliminacja Gaussa, rozkład LU / 33
2.3.1. Układ równań z macierzą trójkątną / 34
2.3.2. Eliminacja Gaussa / 35
2.3.3. Rozkład LU macierzy / 37
2.3.4. Eliminacja Gaussa z wyborem elementu głównego / 40
2.3.5. Iteracyjne poprawianie rozwiązania / 48
2.3.6. Metoda eliminacji zupełnej — Gaussa-Jordana / 48
2.4. Rozkład Cholesky’ego-Banachiewicza (LLT) / 49
2.4.1. Rozkład LLT / 49
2.4.2. Rozkład LDLT, relacje między rozkładami trójkątnymi / 51
2.5. Obliczanie wyznacznika i macierzy odwrotnej / 53
2.6. Iteracyjne rozwiązywanie układu równań liniowych / 56
2.6.1. Metoda Jacobiego / 58
2.6.2. Metoda Gaussa-Seidela / 59
2.6.3. Testy stopu / 60

Rozdział 3. Rozkład QR, wartości własne i szczególne / 63
3.1. Rozkład ortogonalno-trójkątny (QR) macierzy / 63
3.2. Wyznaczanie wartości własnych / 69
3.2.1. Podstawowe definicje i własności — przypomnienie / 69
3.2.2. Metoda QR znajdowania wartości własnych / 73
3.3. Wartości szczególne, dekompozycja SVD / 79
3.4. Liniowe zadanie najmniejszych kwadratów / 81
3.5. Przekształcenie Givensa, z zastosowaniami / 85
3.5.1. Przekształcenie — obrót Givensa / 85
3.5.2. Metoda Jacobiego wyznaczania wartości własnych macierzy symetrycznej / 87
3.5.3. Rozkład QR macierzy obrotami Givensa / 89
3.6. Przekształcenie Householdera, z zastosowaniami / 90
3.6.1. Przekształcenie — odbicie Householdera / 90
3.6.2. Rozkład QR macierzy odbiciami Householdera / 92
3.6.3. Redukcja macierzy do postaci Hessenberga odbiciami Householdera, z zachowaniem podobieństwa / 93

Rozdział 4. Aproksymacja / 97
4.1. Aproksymacja średniokwadratowa dyskretna / 99
4.1.1. Aproksymacja wielomianami w bazie naturalnej / 102
4.1.2. Aproksymacja funkcjami z przestrzeni o bazie ortogonalnej / 105
4.2. Aproksymacja Padé / 107

Rozdział 5. Interpolacja / 113
5.1. Interpolacja wielomianami algebraicznymi / 114
5.1.1. Wzór interpolacyjny Lagrange’a / 115
5.1.2. Wzór interpolacyjny Newtona / 116
5.2. Interpolacja funkcjami sklejanymi / 122

Rozdział 6. Równania nieliniowe i zera wielomianów / 135
6.1. Wyznaczanie zer funkcji nieliniowej / 135
6.1.1. Metoda bisekcji — połowienia / 136
6.1.2. Metoda regula falsi / 137
6.1.3. Metoda siecznych / 139
6.1.4. Metoda Newtona — stycznych / 140
6.1.5. Przykładowa realizacja efektywnego algorytmu / 142
6.2. Rozwiązywanie układów równań nieliniowych / 143
6.2.1. Metoda Newtona / 145
6.2.2. Metoda Broydena / 146
6.2.3. Metoda iteracji prostej / 147
6.3. Wyznaczanie zer wielomianów / 147
6.3.1. Metoda Müllera / 148
6.3.2. Metoda Laguerre’a / 150
6.3.3. Deflacja czynnikiem liniowym / 151
6.3.4. Poprawianie zer — root polishing / 152
6.3.5. Metoda Bairstowa / 152

Rozdział 7. Równania różniczkowe zwyczajne / 157
7.1. Metody jednokrokowe / 163
7.1.1. Metody Rungego-Kutty (RK) / 165
7.1.2. Metody Rungego-Kutty-Fehlberga (RKF) / 170
7.1.3. Wyznaczanie zmienionej długości kroku / 173
7.2. Metody wielokrokowe / 175
7.2.1. Metody Adamsa / 176
7.2.2. Błąd aproksymacji / 178
7.2.3. Stabilność i zbieżność / 180
7.2.4. Metody predyktor-korektor / 184
7.2.5. Metody predyktor-korektor ze zmiennym krokiem / 186
7.3. Równania źle uwarunkowane / 192

Rozdział 8. Różniczkowanie i całkowanie numeryczne / 199
8.1. Różniczkowanie numeryczne / 199
8.2. Całkowanie numeryczne / 206

Bibliografia / 217

Informacje o bezpieczeństwie produktu Informacje o producencie