Rachunek różniczkowy w zadaniach

Rachunek różniczkowy w zadaniach

rok wydania: 2016, wydanie pierwsze
ilość stron: 276
ISBN: 978-83-7348-678-2

Opis
Podręcznik ,,Rachunek różniczkowy w zadaniach” został napisany jako pomoc w poznawaniu podstaw rachunku różniczkowego i ćwiczeniu umiejętności rozwiązywania zadań.
Skrypt ma stanowić pomoc i uzupełnienie w nauce rachunku różniczkowego zapoczątkowanej na wykładach i ćwiczeniach akademickich. Ujęcie tematyki umożliwia korzystanie z podręcznika zarówno studentom studiów technicznych, jak i uczelni innych typów, które zawierają w programie nauczania podstawy analizy matematycznej. Może służyć nie tylko studentom, ale również uczniom zainteresowanym samodzielnym zgłębianiem tego działu matematyki.
Każdy rozdział zawiera wyjaśnienie podstawowych pojęć, podaje podstawowe definicje i twierdzenia, które następnie są zilustrowane przykładami z rozwiązaniami. Zakończony jest zestawem zadań do samodzielnego rozwiązania o zróżnicowanym stopniu trudności, co umożliwia korzystanie z podręcznika studentom różnych kierunków studiów i o różnym stopniu zaawansowania wiedzy.
W podręczniku zawarto ponad osiemset zadań do samodzielnego rozwiązania, blisko trzysta zadań z rozwiązaniami oraz zadania z zastosowań rachunku różniczkowego. Ze względu na obszerność tematyki zastosowań rachunku różniczkowego w innych dziedzinach i stosowanie w nich specyficznych dla poszczególnych dziedzin symboli i nazewnictwa ograniczono ich zakres tylko do klasycznych zastosowań w fizyce, chemii i ekonomii.
Sposób ujęcia zagadnień, które obejmuje niniejszy podręcznik, jest wynikiem wieloletnich doświadczeń i został wypracowany w trakcie przygotowań zajęć dla studentów Politechniki Gdańskiej.

Spis treści
Przedmowa / 7
1. Granica i ciągłość funkcji / 9
1.1. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej / 9
Granica funkcji jednej zmiennej / 9
Granice jednostronne / 26
Ciągłość funkcji jednej zmiennej / 30
Własności funkcji ciągłych / 36
1.2. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych / 38
Funkcje wielu zmiennych / 38
Granica funkcji wielu zmiennych / 43
Granice iterowane / 47
Ciągłość funkcji wielu zmiennych / 51
1.3. Zadania do samodzielnego rozwiązania / 54
2. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej / 65
2.1. Pochodna funkcji / 65
Definicja pochodnej funkcji / 65
Interpretacja geometryczna pochodnej / 76
Różniczkowalność funkcji / 78
Pochodne wyższych rzędów / 82
2.2. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego / 85
Różniczka funkcji / 85
Wzór Taylora / 86
Twierdzenie Rolle’a i Lagrange’a  / 90
Twierdzenie de l’Hospitala / 93
2.3. Badanie przebiegu zmienności funkcji / 97
Asymptoty wykresu funkcji / 97
Monotoniczność i ekstrema lokalne funkcji / 100
Ekstrema globalne funkcji / 109
Wklęsłość i wypukłość funkcji. Punkty przegięcia / 110
Badanie funkcji / 116
2.4. Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej / 129
Zastosowania w fizyce / 129
Zastosowania w chemii / 132
Zastosowania w ekonomii / 135
2.5. Zadania do samodzielnego rozwiązania / 141
3. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych / 153
3.1. Pochodne cząstkowe / 153
Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego / 153
Pochodna kierunkowa / 166
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów / 169
Różniczka funkcji i wzór Taylora / 174
Zastosowanie różniczki funkcji do obliczeń przybliżonych / 179
Pochodne funkcji złożonej / 180
3.2. Badanie funkcji wielu zmiennych / 185
Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji dwóch zmiennych / 185
Ekstrema lokalne funkcji / 187
Wartości najmniejsza i największa funkcji na zbiorze domkniętym / 202
3.3. Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych / 208
Zastosowania w fizyce i chemii / 208
Zastosowania w ekonomii / 211
3.4. Zadania do samodzielnego rozwiązania / 214
4. Funkcje uwikłane / 227
4.1. Funkcje uwikłane jednej zmiennej / 227
Definicja funkcji uwikłanej jednej zmiennej / 227
Ekstrema lokalne funkcji uwikłanej / 232
4.2. Funkcje uwikłane wielu zmiennych / 234
Definicja funkcji uwikłanej wielu zmiennych / 234
Płaszczyzna styczna do powierzchni / 235
4.3. Zadania do samodzielnego rozwiązania / 237
Dodatek – zbiory w przestrzeni euklidesowej / 239
Otoczenie i sąsiedztwo / 239
Zbieżność ciągu punktów w przestrzeni Rⁿ / 241
Otwartość, domkniętość i ograniczoność zbioru / 243
Odpowiedzi do zadań / 247
Bibliografia / 275

Przedmowa
Bez rachunku różniczkowego i całkowego niemożliwym jest istotne zrozumienie nowych teorii o czasie, przestrzeni i budowie materii. Rachunkowi różniczkowemu i całkowemu zawdzięczamy dzisiejsze osiągnięcia w zakresie techniki.
Stefan Banach

Te słowa wybitnego polskiego matematyka Stefana Banacha kierujemy do wszystkich, którzy  zainteresowali  się  zawartością  tego  podręcznika,  aby  z  jego  pomocą  nabywać i doskonalić swoje umiejętności z rachunku różniczkowego. Przypuszczamy, że nikogo nie trzeba przekonywać, jak ważnym działem matematyki jest rachunek różniczkowy. Zanim jednak czytelnicy tej książki zagłębią się w definicjach i twierdzeniach oraz rozpoczną rozwiązywanie zadań z zakresu rachunku różniczkowego, warto, aby zrozumieli jego rolę i miejsce w matematyce i innych dziedzinach nauki, szczególnie w technice. Oddajmy głos Stefanowi Banachowi, który w przedmowie do książki „Od tabliczki do różniczki” napisał: „Matematyka  jest  najpiękniejszym  i  najpotężniejszym  tworem  ducha  ludzkiego.  (...) Matematycy średniowiecza przygotowali grunt dla jednego z największych odkryć, którewywarło przemożny wpływ na rozwój kultury i przyczyniło się w wielkiej mierze doosiągnięcia  dzisiejszych  wyżyn.  Odkrycia  tego  dokonali  Newton  i  Lei twarzając nową metodę badawczą, tzw. rachunek różniczkowy i całkowy. Pojęcia nowego rachunku pozwoliły  Newtonowi  wypowiedzieć  nowe  prawa  rządzące  materią  we  wszechświeciei wyjaśnić ruchy planet. Metody i wyniki rachunku różniczkowego i całkowego umożliwiły zgłębienie tajemnic przyrody i doprowadziły nauki fizyczne do ich wysokiego poziomu”. Podręcznik, który oddajemy do rąk czytelnika, ma stanowić pomoc i uzupełnienie w nauce rachunku różniczkowego zapoczątkowanej na wykładach i ćwiczeniach akademickich. Skrypt może być pomocny w poznawaniu podstaw rachunku różniczkowego i ćwiczeniu umiejętności rozwiązywania zadań nie tylko studentom, ale również uczniom zainteresowanym samodzielnym zgłębianiem tej tematyki. Każdy rozdział zawiera wyjaśnienie podstawowych pojęć, podaje podstawowe definicje i twierdzenia, które następnie są zilustrowane przykładami z rozwiązaniami. Zakończony jest zestawem zadań do samodzielnego rozwiązania o zróżnicowanym stopniu trudności, co umożliwia korzystanie z podręcznika studentom różnych kierunków studiów i o różnym stopniu zaawansowania wiedzy. W podręczniku zawarłyśmy ponad osiemset zadań do samodzielnego rozwiązania, blisko trzysta zadań z rozwiązaniami oraz zadania z zastosowań rachunku różniczkowego. Ze względu naobszerność tematyki zastosowań rachunku różniczkowego w innych dziedzinach i stosowanie w nich specyficznych dla poszczególnych dziedzin symboli i nazewnictwa postanowiłyśmy ograniczyć ich zakres tylko do klasycznych zastosowań w fizyce, chemii i ekonomii. Sposób ujęcia zagadnień, które obejmuje niniejszy podręcznik, jest wynikiem wieloletnich doświadczeń i został wypracowany w trakcie przygotowań zajęć dla studentów Politechniki Gdańskiej. Przygotowując materiały dla studentów, staramy się czerpać z wielkiego dorobku dydaktycznego wybitnych matematyków i dydaktyków, m.in. cytowanego na wstępie Stefana Banacha, nie tylko jednego z największych matematyków, ale również autora wielu podręczników szkolnych i akademickich. W tym miejscu szczególnie serdeczne podziękowania kierujemy do naszego starszego, bardzo doświadczonego kolegi i serdecznego przyjaciela, dr. Gerarda Paszka, który wniósł ogromny wkład w powstanie tej książki w postaci wielu cennych uwag, sugestii i wskazówek.Dziękujemy również naszym pozostałym koleżankom i kolegom z Centrum Nauczania Matematyki i Kształcenia na Odległość Politechniki Gdańskiej za wsparcie i życzliwość. Szczególne podziękowania kierujemy do studentów Politechniki Gdańskiej, którzy uczestniczyli w prowadzonych przez nas wykładach oraz ćwiczeniach i bez których ten podręcznik nigdy by nie powstał.
Autorki

Informacje o bezpieczeństwie produktu Informacje o producencie