Zbiór zadań z analizy zespolonej

Od Autora

Książka powstała na podstawie moich wieloletnich wykładów z analizy zespolonej, które prowadzę na Wydziale Elektronicznym Politechniki Koszalińskiej. Jest napisana w formie zbioru zadań i obejmuje materiał, który obowiązuje na kierunku Elektroniki i Telekomunikacji. Zbiór zadań z analizy zespolonej jest przeznaczony dla studentów studiów technicznych. Z książki mogą również skorzystać osoby, które interesują się analizą zespoloną, a także uczniowie szkół średnich, którzy chcieliby w przyszłości podjąć studia na uczelniach, na których obowiązuje rachunek różniczkowy i całkowy funkcji zespolonych. Analiza zespolona jest przeznaczona dla osób, które mają elementarną wiedzę z analizy matematycznej, szczególnie w zakresie rachunku różniczkowego i całkowego funkcji rzeczywistych. Zbiór zadań składa się z pięciu rozdziałów. W pierwszym rozdziale zostały opisane podstawowe działania na liczbach zespolonych, wielomiany zespolone oraz macierze, wyznaczniki i układy równań w kontekście liczb zespolonych. W drugim rozdziale zostały zdefiniowane funkcje zespolone elementarne takie, jak: funkcje wymierne zespolone, funkcje wykładnicze zespolone, sinus i cosinus zespolony oraz logarytm zespolony. Trzeci i czwarty rozdział zawiera elementy rachunku różniczkowego i całkowego funkcji zespolonych. W piątym rozdziale można znaleźć wiele zastosowań analizy zespolonej w analizie matematycznej funkcji rzeczywistych. W książce zastosowano trzycyfrową numerację przykładów, definicji, stwierdzeń, tematów, uwag i twierdzeń. Pierwsza cyfra oznacza numer rozdziału, druga numer paragrafu, a trzecia kolejny numer przykładu, definicji, stwierdzenia, tematu, uwagi lub twierdzenia. Na końcu każdego rozdziału znajduje się wiele zadań do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami, które powinny pomóc w lepszym zrozumieniu materiału.

Spis treści

Rozdział 1. Ciało liczb zespolonych / 7
1.1 Podstawowe struktury algebraiczne / 7
1.2 Ciało liczb zespolonych / 10
1.3 Macierze i wyznaczniki / 13
1.4 Potęgowanie i pierwiastkowanie / 21
1.5 Równania algebraiczne o współczynnikach zespolonych / 30
1.6 Zadania / 36
1.7 Rozwiązania zadań / 43

Rozdział 2. Funkcje zespolone / 47
2.1 Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej / 47
2.2 Funkcje rzeczywiste dwóch zmiennych rzeczywistych / 49
2.3 Funkcje zespolone zmiennej zespolonej / 54
2.4 Przegląd funkcji elementarnych zespolonych / 60
2.5 Zadania / 66
2.6 Rozwiązania zadań / 70

Rozdział 3. Pochodna zespolona / 73
3.1 Pochodna funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej / 73
3.2 Krzywa gładka i kawałkami gładka / 74
3.3 Elementy topologii płaszczyzny / 79
3.4 Pochodna funkcji dwóch zmiennych / 86
3.5 Pochodna funkcji zespolonej zmiennej zespolonej / 90
3.6 Funkcje holomorficzne / 96
3.7 Zadania / 100
3.8 Rozwiązania zadań / 105

Rozdział 4. Całka zespolona / 113
4.1 Całka funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej / 113
4.2 Całka funkcji zespolonej zmiennej zespolonej / 116
4.3 Całka zespolona po krzywej zamkniętej / 121
4.4 Residuum funkcji zespolonej / 132
4.5 Zadania / 143
4.6 Rozwiązania zadań / 146

Rozdział 5. Zastosowania / 149
5.1 Całki oznaczone i nieoznaczone / 149
5.2 Całki niewłaściwe / 151
5.3 Transformacja Laplace’a / 156
5.4 Wnioski ze wzoru całkowego Cauchye’go / 168
5.5 Funkcje harmoniczne dwóch zmiennych / 176
5.6 Zadania / 180
5.7 Rozwiązania zadań / 185

Literatura / 188
Skorowidz / 189

Informacje o bezpieczeństwie produktu Informacje o producencie