Płyty i membrany oraz skręcanie prętów pryzmatycznych

Książka obejmuje elementy teorii membran izotropowych i anizotropowych oraz zagadnienia swobodnego skręcania prętów pryzmatycznych. Jej głównym tematem jest teoria płyt Kirchhoffa — zarówno izotropowych, jak i anizotropowych.

W opracowaniu omówiono podstawowe sformułowania zagadnień brzegowych oraz metody ich rozwiązywania, ze szczególnym uwzględnieniem zastosowania pojedynczych i podwójnych szeregów Fouriera. Przedstawiono również zagadnienia płyto-tarcz, płyt warstwowych oraz stateczności płyt.

Publikacja zawiera liczne przykłady rozwiązań zadań wraz z wynikami w formie graficznej, ich interpretacją oraz wskazaniem możliwych zastosowań w budownictwie. W dodatku zamieszczono podstawowe równania klasycznej teorii sprężystości materiałów izotropowych i anizotropowych. Drugie wydanie podręcznika zostało uzupełnione o zadania dotyczące oddziaływań termicznych w płytach.

Opracowanie dotyczy zagadnień realizowanych głównie na drugim semestrze wykładów z teorii sprężystości i plastyczności na studiach II stopnia Wydziału Inżynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej. Może być szczególnie przydatne studentom kierunków budowlanych, dla których teoria sprężystości i plastyczności stanowi jeden z podstawowych przedmiotów na studiach magisterskich.

Spis treści

Rozdział I. Membrany izotropowe

1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany / 13
2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych / 15
3. Wybrane zagadnienia brzegowe / 16
   3.1. Ugięcie walcowe membrany / 16
   3.2. Membrana eliptyczna / 19
   3.3. Membrany kołowo symetryczne / 21
   3.4. Zastosowanie podwójnych szeregów sinusowych / 22
   3.5. Zastosowanie pojedynczych szeregów sinusowych / 24
4. Drgania struny i membrany / 25

Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

1. Wstęp / 29
2. Skręcanie pręta o przekroju kołowym / 30
3. Metoda półodwrotna i funkcja deplanacji / 31
4. Funkcja naprężeń / 34
5. Analogia membranowa / 36
   5.1. Membrany izotropowe obciążone równomiernie / 36
   5.2. Swobodne skręcanie prętów pryzmatycznych. Analogia membranowa Prandtla / 36
6. O przybliżonych metodach rozwiązania równania Poissona / 38
   6.1. Metoda Galerkina i MES / 38
   6.2. Metoda Ritza / 39
7. Przykłady / 39

Rozdział III. Teoria płyt Kirchhoffa

1. Założenia i podstawowe zależności teorii płyt cienkich / 53
   1.1. Podstawowe założenia / 53
   1.2. Stan przemieszczenia / 54
   1.3. Stan odkształcenia / 56
   1.4. Stan naprężenia / 56
   1.5. Związki fizyczne PSN / 57
   1.6. Wyznaczenie składowych wektora naprężenia ścinającego / 57
2. Lokalne równania równowagi i uogólnione siły wewnętrzne / 58
3. Równanie przemieszczeniowe Germain-Lagrange’a / 63
4. Zastępcze siły Kirchhoffa / 63
5. Warunki brzegowe / 65
6. Zagadnienia brzegowe i brzegowo-początkowe teorii płyt / 65
7. Płyty spoczywające na sprężystym podłożu / 67
8. Energia sprężystości i energia potencjalna w izotropowych płytach Kirchhoffa / 68
9. O sformułowaniu zadania zginania płyty izotropowej w postaci dwóch równań różniczkowych cząstkowych / 71
10. Hipotezy wytężeniowe w płytach / 72
11. O metodach rozwiązania zadania teorii płyt / 76
12. Uwagi historyczne / 79

Rozdział IV. Płyty anizotropowe

1. Uwagi wstępne / 81
2. Anizotropowe relacje konstytutywne PSN / 81
3. Związek Hooke’a PSN w notacji Voigta. Materiał ortotropowy / 82
4. Wyprowadzenie podstawowych równań teorii płyt anizotropowych / 84
   4.1. Płyty ortotropowe / 85
   4.2. Płyty anizotropowe / 87
5. Przypadki szczególne, płyty ortotropowe, płyty o symetrii regularnej i płyty izotropowe / 88
6. Płyty żelbetowe / 89
7. Płyty o ortotropii technicznej / 91
   7.1. Zastępcze sztywności / 91
   7.2. Przykład oszacowania sztywności układu użebrowanego / 94

Rozdział V. Przykłady zadań elementarnych

1. Zadania zginania płyty sprowadzalne do zagadnienia ugięć membrany / 97
   1.1. Czyste zginanie płyty izotropowej / 97
   1.2. Bezpośrednie zastosowanie rozwiązań zadania ugięcia membrany / 98
   1.3. Zginanie momentami mn trójkątnej płyty równobocznej / 99
2. Utwierdzona płyta eliptyczna obciążona równomiernie / 99
   2.1. Płyta izotropowa / 99
   2.2. Płyta anizotropowa / 105
3. Płyta prostokątna swobodnie podparta obciążona sinusoidalnie / 109
4. Zginanie walcowe pasma płytowego / 111
   4.1. Zestawienie podstawowych równań / 111
   4.2. Przykłady / 112
   4.3. Jednorodne ortotropowe pasma płytowe / 115
5. Jednorodne izotropowe pasma płytowe na sprężystym podłożu / 116
   5.1. Zależności podstawowe / 116
   5.2. Przykłady / 117
6. Zagadnienie dynamiczne zginania walcowego / 123
   6.1. Sformułowanie zadania / 123
   6.2. Drgania swobodne / 123
   6.3. Funkcje Kryłowa-Pragera / 124
   6.4. Przykłady / 125
   6.5. Drgania wymuszone / 127

Rozdział VI. Równania jednorodnych płyt izotropowych we współrzędnych biegunowych

1. Współrzędne biegunowe / 129
   1.1. Lokalna baza i kobaza oraz baza fizyczna / 129
   1.2. Gradient, dywergencja, laplasjan i bilaplasjan / 130
2. Wyprowadzenie podstawowych równań teorii płyt izotropowych we współrzędnych biegunowych / 132
   2.1. Układy współrzędnych kartezjańskich, walcowych i biegunowych / 132
   2.2. Kąty obrotu przekrojów poprzecznych płyty / 133
   2.3. Laplasjan i bilaplasjan oraz równanie różniczkowe ugięcia płyty / 133
   2.4. Tensor krzywizn i tensor momentów / 134
   2.5. Siły poprzeczne / 135
   2.6. Energia sprężystości / 136

Rozdział VII. Płyty o symetrii kołowej

1. Podstawowe zależności / 141
2. Ogólne rozwiązanie zadania ugięcia płyty o stałej sztywności / 143
3. Najprostsze przykłady / 145
   3.1. Swobodnie podparta płyta kołowa obciążona momentem na brzegu / 145
   3.2. Płyta swobodnie podparta z podporą w środku / 147
   3.3. Płyta pierścieniowa swobodnie podparta na krawędzi zewnętrznej zginana równomiernie rozłożonymi momentami / 147
4. Płyty kołowe i pierścieniowe obciążone równomiernie / 155
   4.1. Zestawienie podstawowych zależności / 155
   4.2. Swobodnie podparta płyta kołowa obciążona równomiernie / 156
   4.3. Utwierdzona płyta kołowa obciążona równomiernie / 159
   4.4. Porównanie rozwiązań w przypadkach płyty swobodnie podpartej i utwierdzonej / 162
   4.5. Płyta kominowa obciążona równomiernie / 164
5. Pełne płyty kołowe obciążone siłą w środku / 172
   5.1. Podstawowe zależności / 172
   5.2. Utwierdzona płyta kołowa obciążona siłą w środku / 174
   5.3. Swobodnie podparta płyta kołowa obciążona siłą w środku / 176
   5.4. Uwagi o otrzymanych rozwiązaniach / 180
6. Pełne płyty kołowe obciążone osiowo symetrycznie / 180
   6.1. Zestawienie podstawowych zależności / 180
   6.2. Płyty kołowe obciążone równomiernie p(r)=q0 / 183
   6.3. Płyty kołowe obciążone liniowo wzdłuż promienia p(r)=q1r / 183
   6.4. Płyty kołowe o obciążeniu rozłożonym według stożka p(r)=q(1–r/R) / 184
   6.5. Płyty kołowe obciążone zgodnie z funkcją potęgową / 185
7. Wybrane przykłady / 185
   7.1. Pełne płyty kołowe obciążone równomiernie na części obszaru / 186
   7.2. Płyta ze wspornikiem obciążona momentem / 194

Rozdział VIII. Zastosowanie podwójnych szeregów trygonometrycznych

1. Podwójne szeregi sinusowe / 201
   1.1. Rozwiązanie ogólnego zadania Naviera / 201
   1.2. Przykład wyznaczenia współczynników obciążenia i ugięcia w podwójne szeregi sinusowe / 205
   1.3. Zestawienie wzorów na wielkości kinematyczne i statyczne / 206
   1.4. Płyty prostokątne na sprężystym podłożu / 208
2. Przykłady zastosowania metody Naviera / 208
   2.1. Swobodnie podparta płyta prostokątna obciążona równomiernie / 208
   2.2. Swobodnie podparta płyta prostokątna obciążona siłą skupioną / 220
   2.3. Swobodnie podparta płyta prostokątna obciążona na linii / 222
   2.4. Przegubowo podparta płyta trójkątna obciążona siłą skupioną / 225
3. Podwójne szeregi sinusowo-kosinusowe / 226
4. Podwójne szeregi kosinusowo-kosinusowe / 227
5. Podwójne szeregi trygonometryczne w płytach ortotropowych / 228

Rozdział IX. Zastosowanie pojedynczych szeregów trygonometrycznych

1. Pojedyncze szeregi sinusowe / 231
   1.1. Rozwiązanie ogólnego zadania Lévy’ego / 231
   1.2. Zestawienie wzorów na wielkości kinematyczne i statyczne / 233
2. Płyta utwierdzona na dwóch brzegach obciążona równomiernie / 235
3. Nieograniczona płyta na sprężystym podłożu obciążona ciągiem sił skupionych działających w jednej linii / 244
4. Zastosowanie szeregów pojedynczych w półpasmach / 247
5. Pojedyncze szeregi trygonometryczne w płytach ortotropowych / 252
6. Zginanie prostokątnej płyty ortotropowej obciążonej równomiernie / 256
   6.1. Sformułowanie i rozwiązanie zadania / 256
   6.2. Analiza wyników dla płyt zbrojonych włóknami / 259

Rozdział X. Zastosowanie szeregów trygonometrycznych we współrzędnych biegunowych

1. Zestawienie podstawowych zależności / 265
   1.1. Uwagi wstępne / 265
   1.2. Płyty o kształcie koła i pierścienia obciążone niesymetrycznie / 267
   1.3. Płyty o kształcie wycinka koła / 270
2. Przykłady wstępne / 271
   2.1. Sformułowanie rozpatrywanych zadań i zestawienie wzorów / 271
   2.2. Płyta pierścieniowa / 272
   2.3. Płyta kołowa zamknięta / 273
   2.4. Dyskusja rozwiązań 2.2 i 2.3 / 273
   2.5. Płyta półkolista obciążona równomiernie / 274
   2.5.1. Płyta półkolista swobodnie podparta / 275
   2.5.2. Płyta półkolista swobodnie podparta na brzegu prostoliniowym i utwierdzona na brzegu krzywoliniowym / 275
3. Płyta kominowa obciążona nierównomiernie / 279
   3.1. Sformułowanie zadania / 279
   3.2. Zestawienie podstawowych wzorów / 280
   3.3. Warunki brzegowe i ciągłości w płycie kominowej / 283
   3.4. Rozwiązanie zadania / 283
   3.5. Dyskusja rozwiązania / 285

Rozdział XI. Metody wariacyjne w teorii płyt izotropowych

1. Metoda Ritza-Timoshenki / 297
2. Metoda Bubnowa-Galerkina / 298
3. Przykłady zastosowania metod wariacyjnych / 299
   3.1. Płyty kołowo symetryczne / 300
   3.2. Płyty prostokątne / 303

Rozdział XII. Uogólnienia teorii płyt

1. Płyty Kirchhoffa obciążone gradientem temperatury / 319
   1.1. Obciążenie różnicą temperatury / 319
   1.2. Modyfikacja równań teorii płyt obciążonych temperaturą / 319
   1.3. Nieograniczona płyta obciążona gradientem temperatury / 321
   1.4. Płyta półpłaszczyznowa na sprężystym podłożu, obciążona gradientem temperatury / 321
   1.5. Pasmo równomiernie obciążone stałym gradientem temperatury / 324
   1.6. Zależności we współrzędnych biegunowych / 327
   1.7. Płyta kołowa swobodnie podparta / 328
   1.8. Utwierdzona płyta kołowa / 330
   1.9. Płyta pierścieniowa / 331
   1.10. Swobodnie podparte płyty prostokątne / 332
   1.11. Płyta prostokątna obciążona stałym gradientem temperatury / 333
   1.12. Płyta prostokątna obciążona sinusoidalnym gradientem temperatury / 334
   1.13. Rozwiązania pojedynczym szeregiem trygonometrycznym / 336
2. Superpozycja stanu tarczowego i płytowego / 338
   2.1. Stan przemieszczenia / 338
   2.2. Stan odkształcenia / 338
   2.3. Stan naprężenia / 339
   2.4. Siły przekrojowe / 339
   2.5. Równania równowagi / 341
   2.6. Równania przemieszczeniowe / 341
   2.7. Warunki brzegowe / 341
   2.8. Zagadnienie brzegowe dla płyto-tarczy / 342
3. Płyty warstwowe / 342
   3.1. Wyprowadzenie podstawowych zależności dla płyt warstwowych / 342
   3.2. Nieskończona płyta na sprężystym podłożu, obciążona równomiernie na pasie / 346
4. Wybrane zagadnienia stateczności płyt Kirchhoffa / 348
   4.1. Wyboczenie prostokątnej płyty swobodnie podpartej na brzegach / 348
   4.2. Płyta swobodnie podparta w jednym kierunku i utwierdzona w drugim / 352
   4.3. Płyta swobodnie podparta na trzech brzegach i na jednym utwierdzona / 354
   4.4. Stateczność płyty swobodnie podpartej obciążonej w dwóch kierunkach / 355

Dodatek. Podstawowe równania teorii sprężystości materiałów anizotropowych

1. Sformułowanie zadania brzegowego / 359
2. Podstawowe wnioski wynikające z własności tensorów Hooke’a / 361
3. Standardowa notacja Voigta / 363
4. Techniczne „stałe sprężystości” i ich interpretacja / 364
5. Reprezentacje tensorów Hooke’a w szczególnych przypadkach anizotropii / 365
6. Zagadnienia brzegowe liniowej teorii sprężystości jednorodnych materiałów izotropowych / 366
   6.1. Sformułowanie zadania statyki / 366
   6.2. Sformułowanie zadania brzegowego w przemieszczeniach / 367
7. Macierze sztywności i podatności materiału ortotropowego / 369
8. Tarcze / 371
9. Zagadnienie wyznaczenia trajektorii wartości własnych tensorów płaskich drugiego rzędu / 372
10. Uwagi o hipotezach wytężeniowych / 375

Bibliografia / 376

Informacje o bezpieczeństwie produktu Informacje o producencie