Wykłady z analizy matematycznej

  • Dodaj recenzję:
  • 4617
  • Producent: Wydawnictwo Naukowe PWN
  • Autor: Ryszard Rudnicki
  • szt.
  • Cena netto: 54,19 zł 56,90 zł

Wykłady z analizy matematycznej

rok wydania: 2012, wydanie pierwsze
ISBN: 978-83-01-14946-8
ilość stron: 536
format: 16,5x24 cm
oprawa: twarda

Opis

Nowoczesny podręcznik analizy matematycznej odpowiadający programowi wykładu trzysemestralnego. Przedstawiono w nim szeroki krąg zagadnień analizy matematycznej wraz z bardzo cennymi przykładami i zastosowaniami.

Zakres materiału obejmuje:
- rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej
- elementy funkcji holomorficznych
- podstawy teorii równań różniczkowych zwyczajnych
- elementy teorii miary i całki Lebesgue'a
- podstawowe informacje o szeregach Fouriera
- transformacje całkowe.

Spis treści

Przedmowa / 5

Rozdział I. Wstęp do matematyki / 13
1.1 Elementy logiki i teorii zbiorów / 13
1.1.1. Rachunek zdań / 13
1.1.2. Reguły wnioskowania / 16
1.1.3. Funkcja zdaniowa i kwantyfikatory/ 17
1.1.4. Działania na zbiorach / 18
Zadania / 20
1.2. Funkcje i relacje / 21
1.2.1. Relacje21
1.2.2. Relacje równoważności / 22
1.2.3. Funkcja / 24
1.2.4. Ciąg / 24
1.2.5. Działania na funkcjach / 25
1.2.6. Obrazy i przeciw obrazy29
Zadania / 31
1.3. Zbiory liczbowe / 31
1.3.1. Liczby naturalne / 31
1.3.2. Ciała / 32
1.3.3. Liczby wymierne i rzeczywiste / 34
1.3.4. Liczby zespolone / 36
1.3.5. Postać trygonometryczna liczb zespolonych / 38
Zadania / 42

Rozdział II. Ciągi i szeregi / 44
2.1. Przestrzenie metryczne I / 44
2.1.1. Przykłady przestrzeni metrycznych / 44
2.1.2. Kule w przestrzeniach metrycznych / 46
2.1.3. Zbieżność / 48
Zadania / 51
2.2. Ciągi / 52
2.2.1. Własności ciągów liczbowych / 52
2.2.2. Ciągi liczb rzeczywistych / 53
2.2.3. Metody obliczania granic / 55
2.2.4. Ciągi rozbieżne do nieskończoności / 60
2.2.5. Ciągi ograniczone / 63
Zadania / 68
2.3. Szeregi / 69
2.3.1. Szeregi liczbowe / 69
2.3.2. Kryteria zbieżności szeregów / 72
2.3.3. Szeregi potęgowe / 77
2.3.4. Szeregi funkcyjne / 79
2.3.5. Uzupełnienia / 82
Zadania / 86

Rozdział III. Ciągłość / 87
3.1. Przestrzenie metryczne II / 87
3.1.1. Zbiory otwarte i domknięte / 87
3.1.2. Zbiory zwarte / 91
3.1.3. Przestrzeń zupełna / 92
3.1.4. Zasada Banacha / 94
Zadania / 100
3.2. Granica ciągłości funkcji / 101
3.2.1. Definicja ciągowa (Hinego) / 101
3.2.2. Definicja otoczeniowa (Cauchy'ego) / 105
3.2.3. Działania na funkcjach ciągłych / 108
3.2.4. Przykłady / 110
Zadania / 117
3.3. Własności funkcji ciągłych / 118
3.3.1. Własności Darboux / 118
3.3.2. Funkcje ciągłe na zbiorach zwartych / 121
3.3.3. Przestrzeń funkcji ciągłych / 123
Zadania / 127

Rozdział IV. Różniczkowalność / 128
4.1. Pochodna funkcji jednej zmiennej / 128
4.1.1. Definicja pochodnej / 128
4.1.2. Podstawowe twierdzenia / 131
4.1.3. Pochodna funkcji elementarnych / 133
4.1.4 Przykłady / 135
4.1.5. Pochodna wyższych rzędów / 139
Zadania / 142
4.2. Twierdzenia o wartości średniej i ich zastosowania / 143
4.2.1. Twierdzenie o wartości średniej / 143
4.2.2. Wzór Taylora / 146
4.2.3. Badanie przebiegu zmienności funkcji / 152
4.2.4. Reguła de L'Hospitala / 159
4.2.5. Przybliżone rozwiązanie równań / 163
Zadania / 166
4.3. Pochodna funkcji wielu zmiennych / 167
4.3.1. Elementy algebry liniowej / 167
4.3.2. Pochodna cząstkowa / 172
4.3.3. Pochodna Frecheta / 173
4.3.4. Pochodna kierunkowa / 176
4.3.5. Zastosowanie różniczki i pochodnej / 180
4.3.6. Pochodna funkcji złożonej / 183
4.3.7. Pochodna cząstkowa wyższych rzędów / 185
4.3.8. Pochodna w przestrzeniach unormowanych / 187
4.3.9. Operatory teorii pola / 188
Zadania / 189
4.4. Ekstremum funkcji / 192
4.4.1. Wzór Taylora / 192
4.4.2. Ekstrema lokalne / 194
4.4.3. Ekstrema globalne / 200
Zadania / 201
4.5. Twierdzenie o funkcji odwrotnej i jego zastosowanie / 202
4.5.1. Twierdzenie o funkcji odwrotnej / 202
4.5.2. Twierdzenie o funkcji uwikłanej / 208
4.5.3. Powierzchnie / 213
4.5.4. Powierzchnie domknięte i kawałkami gładkie / 220
4.4.5. Ekstrema warunkowe / 222
Zadania / 229

Rozdział V. Całki / 231
5.1. Całka nieoznaczona / 231
5.1.1. Definicja całki nieoznaczonej / 231
5.1.2. Podstawa całki / 232
5.1.3. Całkowane przez część / 233
5.1.4. Całkowane przez podstawienie / 235
5.1.5. Całkowanie funkcji wymiernych / 237
5.1.6. Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych / 242
Zadania / 247
5.2. Całka oznaczona / 248
5.2.1. Definicja całki oznaczonej / 248
5.2.2. Całkowalność funkcji / 251
5.2.3. Własności całki oznaczonej / 254
5.2.4. Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną / 256
5.2.5. Zastosowanie geometryczne całki / 257
5.2.6. Całki niewłaściwe i ich zastosowanie / 262
5.2.7. Twierdzenie o przejściu do granicy pod znakiem całki / 264
5.2.8. Różniczkowanie całki zależnej od parametru / 267
5.2.9. Uogólnienie: całka Reimanna-Stieltjesa i całka z funkcji o wartościach w Rn / 269
5.2.10. Funkcje specjalne / 270
Zadania / 270
5.3. Całki wielokrotne / 272
5.3.1. Definicja całki wielokrotnej / 272
5.3.2. Całka iterowana i wzór Fubiniego / 274
5.3.3. Całka wielokrotna po dowolnym zbiorze / 278
5.3.4. Zastosowanie całek wielokrotnych / 283
5.3.5. Twierdzenie o zamianie zmiennych / 287
Zadania / 294
5.4. Całki krzywoliniowe / 296
5.4.1. Orientacje / 296
5.4.2. Całka krzywoliniowa zorientowana / 303
5.4.3. Całka krzywoliniowa niezorientowana / 308
5.4.4. Związek całek zorientowanych i niezorientowanych / 309
5.4.5. Zastosowanie całek krzywoliniowych / 310
5.4.6. Wzór Greena i polo potencjalne / 311
Zadania / 316
5.5. Całki powierzchniowe / 317
5.5.1. Całka powierzchniowa niezorientowana / 317
5.5.2. Całka powierzchniowa zorientowana / 320
5.5.3. Twerdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego / 322
5.5.4. Twierdzenie Stokesa / 324
5.5.5. Równanie Poissona / 327
Zadania / 331

Rozdział VI. Funkcje zespolone / 333
6.1. Pochodna i całka / 333
6.1.1. Pochodna zespolona / 333
6.1.2. Równanie Cauchy'ego-Riemanna / 336
6.1.3. Całka zespolona / 338
6.1.4. Twierdzenie całkowe Cauchy'ego / 340
Zadania / 344
6.2. Własności funkcji analitycznych / 345
6.2.1. Własności funkcji Cauchy'ego / 345
6.2.2. Rozwijalność funkcji analitycznej w szereg potęgowy / 346
6.2.3. Nierówność Cauchy'ego i zasada maksimum / 349
6.2.4. Szereg Laurenta i punkty osobliwe / 350
Zadania / 354
6.3. Zastosowanie funkcji analitycznych / 355
6.3.1. Rachunek residuów / 355
6.3.2. Funkcje harmoniczne / 359
Zadania / 365

Rozdział VII. Równania różniczkowe / 366
7.1. Metody rozwiązywania równań różniczkowych / 366
7.1.1. Uwagi ogólne / 366
7.1.2. Modele przyrodnicze prowadzące do równań różniczkowych zwyczajnych / 366
7.1.3. Równania o zmiennych rozdzielonych / 368
7.1.4. Równania zupełne / 373
7.1.5. Równanie liniowe i równanie Bernoulliego / 376
7.1.6. Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań pierwszego rzędu / 380
7.1.7. Uwagi o efektywnym rozwiązywaniu równań różniczkowych / 383
Zadania / 383
7.2. Podstawowe twierdzenia / 384
7.2.1. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności / 384
7.2.2. Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych / 391
7.2.3. Ciągła zależność od warunków początkowych i parametru / 393
7.2.4. Metoda małego parametru / 396
7.2.5. Zastosowanie szeregów potęgowych w teorii równań różniczkowych / 400
Zadania / 402
7.3. Równania i układ równań liniowych / 403
7.3.1. Twierdzenie o istnieniu jednoznaczności / 403
7.3.2. Układ liniowy jednorodny / 404
7.3.3. Rozwiązanie ogólne układu niejednorodnego / 406
7.3.4. Układ jednorodny o stałym współczynnikach / 407
7.3.5. Układ niejednorodny ze stałą macierzą A / 416
7.3.6. Równanie liniowe / 418
7.3.7. Równanie liniowe o stałych współczynnikach / 419
7.3.8. Analiza równania drgań / 426
Zadania / 430
7.4. Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych / 431
7.4.1. Równanie autonomiczne / 431
7.4.2. Układ zachowawczy / 434
7.4.3. Stabilność / 436
7.4.4. Twierdzenie Liouville'a / 439
Zadania / 442
7.5. Elementarne wiadomości o równaniach cząstkowych / 443
7.5.1. Równania cząstkowe pierwszego rzędu / 443
7.5.2. Równania cząstkowe drugiego rzędu / 447
Zadania / 451

Rozdział VIII. Teoria całki Lebesgue'a / 453
8.1. Przestrzeń z miarą / 454
8.1.1. Zbiory mierzalne / 454
8.1.2. Zbiory borelowskie / 455
8.1.3. Miara / 457
8.1.4. Miara Lebesgue'a / 458
8.1.5. Miara zupełna / 458
8.1.6. Własności miary / 460
Zadania / 462
8.2. Funkcje mierzalne / 462
8.2.1. Definicja funkcji mierzalnej / 462
8.2.2. Własności funkcji mierzalnych / 463
8.2.3. Funkcje proste / 465
Zadania / 467
8.3. Całki Lebesgue'a / 467
8.3.1. Definicja całki Lebesgue'a / 467
8.3.2. Własności całki Lebesgue'a / 469
8.3.3. Twierdzenie o przejściu do granicy pod znakiem całki / 472
8.3.4. Całkowanie funkcji zespolonych / 478
8.3.5. Całka Lebesgue'a w R / 480
Zadania / 481
8.4. Szeregi Fouriera / 482
8.4.1. Przestrzeń L2 / 482
8.4.2. Przestrzeń unitarna i przestrzeń Hilberta / 484
8.4.3. Układ ortonormalny / 486
8.4.4. Szereg Fouriera / 490
8.4.5. Równanie Laplace'a w kole / 492
Zadania / 495

Rozdział IX. Dodatek / 496
9.1. Transformacja Fouriera / 496
9.1.1. Twierdzenie Fubiniego / 496
9.1.2. Splot / 497
9.1.3. transformacja Fouriera / 498
9.1.4. Odwrotna transformacja Fouriera / 500
9.1.5. Równanie przewodnictwa cieplnego / 502
Zadania / 503
9.2. Transformacja Laplace'a / 504
9.2.1. Definicja transformaty Laplace'a / 504
9.2.2. Własności transformaty Laplace'a / 506
9.2.3. Zastosowania transformacji Laplace'a do rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych / 507
Zadania / 509
9.3. Elementy rachunku wariacyjnego / 509
9.3.1. Ekstrema funkcjonałów / 509
9.3.2. Ekstrema funkcjonału działania / 512
9.3.3. Przykłady / 515
9.3.4. Związek rachunku wariacyjnego z mechaniką Newtona / 522
Zadania / 523
Literatura uzupełniająca / 524
Skorowidz / 526